カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理

カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理(Casorati-Weierstrass theorem)は、解析関数の孤立した真性特異点の近傍の像が稠密であることを主張する定理である。具体的には、 $\mathbb{U}_\delta=\{z\in\mathbb{C}:\;0<|z-z_0|<\delta\}$ において $f (z)$ が正則であって $(z - z 0) n f (z)$ が有界となる有限な自然数 $n\in\mathbb{N}$ が存在しないときに

$\forall{\epsilon>0},\forall{v\in\mathbb{C}},\exists{z\in\mathbb{U}_\delta},\left|f(z)-v\right|<\epsilon$

であることを主張する。

具体例

真性特異点を持つ関数の例として

$f(z)=e^\left(\frac{1}{z}\right)$

を挙げる。任意の $v\in\mathbb{C}\setminus\{0\}$ について

$z=\frac{1}{\log\left(v\right)+2{\pi}in},\quad{n\ge\frac{1}{2\pi\delta}+1}$

とすれば、 $\left|z\right|<\delta$ で $f (z) = v$ となることが確かめられる。カゾラーティの定理は、真性特異点を持つ他の関数も同様に振る舞うことを主張する。但し、カゾラーティの定理は全ての値について「それに限りなく近い値」を取るとしか主張していない。ピカールの定理は、「それに限りなく近い値」しか取らないという値が高々唯一の例外であることを主張する。

証明

背理法を用いる。 $\forall{z\in\mathbb{U}_\delta},\left|f(z)-v\right|\ge\epsilon$ であると逆に仮定すれば

$\left|F(z)\right|=\frac{1}{\left|f(z)-v\right|}\le\frac{1}{\epsilon}\qquad\left(z\in\mathbb{U}_\delta\right)$

は有界であるから、 $F (a)$ は除去可能な特異点である。従って、

$f(z)=\frac{1}{F(z)}+v\qquad\left(z\in\mathbb{U}_\delta+\left\{a\right\}\right)$

は有理型である。これは $f (a)$ が真性特異点であるという仮定に反する。

出典

John J O'Connor and Edmund F Robertson, "The MacTutor History of Mathematics archive: Felice Casorati"

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